UCH O‘LCHOVLI FAZODAGI SFERADAANIQLANGAN FUNKSIYALARNI TAQRIBIY INTEGRALLASH UCHUN OPTIMAL KUBATUR FORMULALAR Текст научной статьи по специальности «Математика»

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

UCH O'LCHOVLI FAZODAGI SFERADAANIQLANGAN FUNKSIYALARNI TAQRIBIY INTEGRALLASH UCHUN OPTIMAL KUBATUR FORMULALAR

Bozarov Baxromjon Ilxomovich,

fizika-matematika fanlari bo'yicha falsafa doktori, Muxammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali

b.bozarov@mail .ru

Annotatsiya: Sfera ustida aniqlangan funksiyalarni optimal kubatur formulalar va trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalar yordamida integrallarni taqribiy hisoblashning samarali usullarini ishlab chiqish, funksiyalarning turli sinflarida trigonometrik vaznli integrallarni taqribiy hisoblashning yangi algoritmlarini yaratish hamda ularning xatoliklarini baholash ushbu ishning maqsadidir.

Kalit so'zlar: kubatur formulalar, kvadratur formulalar, xatolik funksionali, xatolik funksionali normasi, optimal koeffisiyentlar

Kirish.

Ushbu ishda

2n 71 2n

J J f ( sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0) | J \Л0ёф = J 0 0 0 tenglikning o'ng qismi bo'lgan

2n n

I = J J sin OF(вфуюйф

0 0 (1) integraldagi F(0,ф) funksiyaning berilishi

bilan bu integral ostidagi ifoda 0 va ф o'zgaruvchilarga nisbatan davriy yoki davriy emas deb qarash mumkin [1,2,3].

Bizga ma'lumki, (1) ifodani quyidagi taribda hisoblanadi

I (ф) = J sin(O) F 00,ф)йв

0

va

2n

I = J !,(фуф

(2)

0 . (3)

Umumiy ma'noda 0 va ф o' zgaruvchilar bo'yicha integral ostidagi funksiyaning davriy yoki davriy emasligiga nisbatan quyidagi hollarda kubatur formulalarni qurish mumkin.

1) Berilgan (1) integral ostidagi ifoda ikkala o'zgaruvchi bo'yicha ham davriy bo'lsin.

2) Bu (1) integral ostidagi ifoda 0 o'zraguvchi

bo'yicha davriy emas, ikkinchi nisbatan davriy bo'lsin.

ф

o'zgaruvchiga

Biz bu ishda uch o'lchovli fazodagi sferada aniqlangan funksiyalarning integralini taqribiy hisoblash bilan shug'illanamiz. Bu xolatlar uchun tayin olib qurilgan kubatur formulalar yordamida sonli natijalarni hisoblaymiz.

Optimal kubatur formula qurish.

Dastlab uch o'lchovli fazodagi sferada

aniqlangan Ffunksiyani berilishi bilan (1) integral ostidagi ifoda xar ikki o'zgaruvchilari bo'yicha ham davriy deb qaraylik.

1) Demak, (1) integral ostidagi ifoda 0 va $ o'zgaruvchilar bo'yicha davriy funksiya bo'lsin, bunda

0 o'zgaruvchi bo'yicha [4,5] ishlarida keltirilgan

davriy funksiyalar uchun p(x) vaznli optimal kvadratur formuladan foydalanish mumkin 1 N

J p(x)f (x)dx C[ß]f [ß]

0 ß=i . (4)

Berilgan (2) integralni hisoblash talab etiladi.

Davriy funksiyalar fazosida p(x) =sm(x) vaznli bo'lganda (4) optimal kvadarutur formula bilan xisoblash uchun (2) integral chegaralarini 0 = nx

almashtirish bilan F = f (^x) belgilash bajaramiz. Bu almashtirishdan so'ng quyidagi integralni hisoblashga kelamiz

1 N

J sm(xx)f (Kx)dx = X C[ß]f (4ß]) 0 ß=1 . (5)

Bu (5) davriy funksiyalar fazosidagi optimal kvadratur formula uchun quyidagi tasdiq o'rinli [4].

109

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

Teorema 1. (X.M.Shadimetov [4]) SoЪolevning Lm)(0 ж]

2 v ' J davriy funksiyalar fazosida (5) vaznli optimal kvadratur formulaning koeffitsientlari quyidagicha

2(1 - cos^h)) Y (2m - 1)lsin^hß)

C[ß] = h

21 2 ж h

2] a cos(h(m -1 - k)) + am l

-, ß = 1,...,N

Ъu yerda

(6)

k

= ] (-1)

j=o

V j

i k +1 - j )

,\2 m-1

а

-1

( x)

esa Eyler-Frobenius

ko'phadning (m 1) -tartibli hadining koeffitsienti.

Teorema 1 dan uch o'lchovli fazoda aniqlangan funksiyalarni (5) integralini hisoblash uchun m -1 bo'lganda (6) koeffitsientlar uchun quyidagi tasdiq o'rinli

L(1)(0 n]

Teorema 2. Sobolevning 2 v ' J davriy funksiyalar fazosida (5) vaznli optimal kvadratur formulaning koeffitsientlari quyidagicha

= 2(1 -cos^ss^p, fi = N¡

n h (7)

h

bu yerda N1 , N1 - biror natural son.

Keyin, ikkinchi $ o'zgaruvchi bo'yicha (3) integralni umumlashgan to'g'ri to'rtburchaklar formulasidan foydalanib taqribiy hisoblash mumkin

b N2

J g(x)dx ^ ] h2g(a + hiP)

a p-1 , (8)

, b - a h --

bu yerda 2 N2 , N2 - biror natural son.

Demak, (8) dan foydalangan holda (3) integralni ushbu

2n N2

I - J /i(<W = £ h2 Ii([P])

o p-1 (9)

ko'rinishda ifodalash mumkin, bu yerda

. 2ж h = —

2 N

[6].

Yuqorida berilgan (1) integralni taqribiy hisoblash uchun, (5) va (9) lardan foydalangan holda, teorema 2 ni hisobga olib quyidagi kubatur formulani quramiz

2ж ж

J JsineF(в,ф)dвdф = ]h]C[y]F(ж[у]Ш

ß=l r=1

(10)

Qurilgan kubatur formulalar yordamida aniq misollarni hisoblash.

Endi uch o'lchovli fazo sferasida aniqlangan funksiyalar uchun quyidagi misollarni ko'rib chiqamiz.

1 - misol. Quyidagi integralni hisoblang

J(* + y)dS2

s2

Yechish. Dastlab integral ostidagi z = x + y funksiyani sferik koordinatalar sistemasiga o'tkazamiz, (1) integral uchun quyidagi tenglikni olamiz, ya'ni

2ж ж

J J sin2 (в) i cos^) + sin^) ) dвdф

o o

(11)

Endi, (11) integralni taqribiy hisoblash uchun (3.10) kubatur formuladan foydalanamiz. Bunda davriy funksiyalar fazosida trigonometrik vaznli optimal kvadratur (5) formula bilan hisoblaymiz. Shunday qilib, uning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi

ж l N

J sin2(e)de = жJ sin(жx) sin(жx)dx = ж] C[/]sin^[/])

О О У=1

Bunda teorema 2 dan foydalanib integralni taqribiy qiymatini hisoblaymiz va natijani aniq qiymati bilan taqqoslaymiz.

Integralning aniq qiymati

ж}^п2(жх^ =ж}1 - C°s(^X)dx =ж « 1.57o796326

N = lo,loo,looo , + ...

Endi, 1 bo'lganda taqribiy

qiymatlarini hisoblaymiz

lo

ж] C\y] sm^[/]) « 1.567691491

1) r=1 ,

loo

ж] С[/^т(ж[/]) « 1.57o667oo9 2) r=1 ,

looo

ж] C[y] sm^[/]) « 1.57o795625 3) r=1 .

Bunda taqribiy olingan natijalar integralning aniq qiymatiga tugun nuqtalar sonini oshirish bilan yaqinlashishini ko'rish mumkin.

110

k=o

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

Endi ikkinchi ф o'zgaruvchi bo'yicha (9) umumlashgan to'g'ri to'rtburchaklar formulasi bilan hisoblaymiz

2n N2

J (cos(ф) + sin^)) йф ^ X h2 (cos[ß] + sin[ß]) = 0

ß-1

bu yerda [ß] hlß - tugun nuqtalar,

, 2n h = —

2 N

2 - biror natural son.

Demak, umumiy ma'noda quyidagi kubatur formula bilan hisoblaymiz

2nn N2 Nt

JJ sin2 (0) ( cos(<p) + sin(<p) ) d0dp = xX K ( cos[ß] + sin[ß] ) X C[/]sin(n[/])

0 0 ß=l r=l

Ikkinchi farazda (1) integral ostidagi F(0,$$ funksiya berilganda integral ostidagi ifoda birinchi 0

o'zgaruvchisi bo'yicha davriy bo'lmagan, ikkinchi $ o'zgaruvchi bo'yicha davriy funksiya bo'lgan holni qaraymiz.

2) Agarda (1) integral ostidagi F(0'$)

funksiya berilganda integral ostidagi ifoda 0 o'zgaruvchi bo'yicha davriy bo'lmasa, bu o'zgaruvchi bo'yicha (2) integralni quyidagi sinus vaznli optimal kvadratur formuladan

n N

J sin(0) F (0, $)d0 - X Cs [ß]F (hß,$) 0 ß=0 (12) foydalanib hisoblash mumkin [7,8]. Bu (12) ko'rinishidagi kvadratur formulalar uchun umumiy holda [2,3] ishda

1 N

J sin(2nyx)^(x)dx - X Cs [ßMß]

0 ß=0

ko'rinishida trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulalar qurilgan. Bu trigonometrik vaznli

1

c =—

optimal kvadratur formuladan 2n bo'lganda biz qarayotgan (12) ko'rinishidagi optimal kvadratur

formula kelib chiqadi. Bunda (12) uchun m =1 bo'lgandagi optimal koeffitsientlari uchun quyidagi tasdiq o'rinli [8].

L(1)(0 1)

Teorema 3. Sobolevning 2 v ' ' fazosida (12) ko'rinishdagi Sard ma'nosida optimal kvadratur formulaning koeffitsientlari uchun quyidagi tengliklar o'rinli

C [ß] =

1 -

sin(h) h '

ß = 0,

2(1 - cos(h))

1-

h sin[ß], ß = 1, N -1, sin(h)

h

ß = N,

bu yerda

h = 7

N , [ß] - hß, N - biror natural

son.

Shu bilan birga F(0, ф) funksiya uchun integral

ostidagi ifoda ikkinchi ф o'zgaruvchi bo'yicha davriy

funksiya bo'lsin. Unda ф (0 ~ф< 2n) o'zgaruvchi bo'yicha taqribiy integralni (3.9) umumlashgan to'g'ri to'trburchaklar formulasidan foydalangan holda hisoblash mumkin. Natijada, biz uch o'lchovli fazodagi sferada aniqlangan funksiyalarning integrallarini taqribiy hisoblash uchun (9), (12) optimal kvadratur formulalar va teorema 3 ni hisobga olib ushbu

N, N

I - J J sin 0F(0, ф}Л0ёф = £ h2 £ Cs [y]F(n[y],[ß])

ß-1 y-0

(13)

optimal kubatur formulaga ega bo'lamiz. Bu

2n , 7

h ——, h — — yerda [ß] - hß, 2 N2, [y] - hy, h N , N1 _

biror natural son.

2 - misol. Quyidagi integralni hisoblang

x iP 2

J exdS

Yechish. Buning uchun integral ostidagi ifodani sferik koordinatalar sistemasiga o'tkazib, quyidagi karrali integralni hisoblashga olib kelamiz

2n n

J exdS2 - J Jsm(0)esin(0)cosWdвdф

S2 0 0 .

Bu integral ostidagi ifoda ikkinchi farazga mos, integralini aniq qiymatini qurilgan kubatur formuladan olingan natija bilan taqqoslaymiz.

Demak, berilgan funksiyaning integral qiymati quyidagicha

2n n

J exdS2 = J Jsm(0)esin(0)cosWd0dф « 14.7680137457653

S2 0 0

Berilgan funksiyani birinchi o'zgaruvchi

bo'yicha (0,n) oraliqda davriy emasligini grafikdan ko'rishimiz mumkin (Rasm 1), ikkinchi o'zgaruvchisi

111

0

2

S

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

bo'yicha (0,2^ oraliqda davriy ekanligi ko'ramiz (Rasm 2).

v = sin(x)esin( x) Rasm 1. y K ' funksiyaning grafigi.

\ 2.1-

\ / 2"

\ / L5

\ /

\ / 0.5-

-2 я 3 it -H

2

3 Jt 2 к 2

v = ecos(x )

Rasm 2. v funksiyaning grafigi.

Endi qurilgan (13) optimal kubatur formula

bilan berilgan integralning taqribiy qiymatini N =100 bo'lganda hisoblaymiz

N N

S h S C [/]esin[r]cos[ß] =14.767289

ß=1 y=0

Bu olingan natijani xatoligi

7-2474 '10 ga teng ekanligini ko'ramiz.

Optimal kvadratur formulalarni klassik

ma'nodagi kvadratur formulalar bilan taqqoslash

Umumlashgan trapesiyalar formulasi chiziqli funksiyaga aniq bo'lganligi sababli, trigonometrik vaznli kvadratur formulani ham chiziqli funksiyaga aniq bo'lgan m = 2 holida qaraymiz.

3 - Misol. Quyidagi integralni hisoblang

J x2 sin(2^0x)dx

Berilgan misolni umumlashgan Nyuton-Kotes formulasi

Jx2 sin(2^ox)dx = gx-sin(20) + 4ism(2^x,+1).(^ _^)

2

(14)

bilan taqribiy hisoblaymiz. Bu umumlashgan trapesiyalar formulasiga aynan teng.

Dastlab, bu integralni aniq qiymatini I bilan belgilab olamiz i

I = J x2 sin(2^iyx)dx

0

Berilgan misolni umumlashgan Nyuton-Kotes formulasining chiziqli kvadratur formulasi bilan hisoblangan taqribiy qiymatini

N-1 v2

Ar =S

x sin(2^yx ) + x+1 sin(2^0x+1 ) 2 '

( x+1 _ x,)

i=0

belgilaymiz.

Nyuton - Kotes formulasi xatoligining absolyut qiymati bu integral va kvadratur yig'indi orasidagi ayirmaning absolyut qiymati bilan aniqlanadi. Ya'ni,

Jx2sm(2^x)dx-g^п(20) + xLsin(2^^xi+1) ,(^ _x)

|I _ =

(15)

Quyidagi jadvalda (14) kvadratur qormulaning (15) xatoligining absolyut qiymatlarini

N=1;10;100;1000 va ® =U10-1;100-1;1000-1 bo'lganda o'zgarishini tekshiramiz.

Jadval 1. N =1,10,100,1000 va

0 = U10.1,100.1,1000.1 bo'iganda umumlashgan trapesiyalar formulasining xatoligini absolyut qiymatlarini o'zgarishi keltrilgan.

0 = 1.1 0 = 10.1 0 = 100.1 0 = 1000.1

I _ A I _ A I _ Ar I _ Ar

N=1 3.874936(-1) 3.063506(-1) 2.951759(-1) 2.940213(-1)

N=10 5.701761(-3) 1.641521(-1) 1.529774(-1) 1.518228(-1)

N=100 5.639861(-5) 4.407336(-4) 1.529774(-1) 1.504333(-1)

112

0

0

i=0

Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil

"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year

Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год

I N=1000 I 5.639251(-7) | 4.376634(-6) | 4278453(-5) | 1.504194(-1)

Jadval 1 dan keltirilgan natijalardan ko'rinadiki

umumlashgan trapesiyalar formulasi N -ю holda yaqinlashadi.

Yuqoridagi misoldan ko'rinadiki,

trigonometrik vaznli kvadratur formulada berilgan

funksiya x) = x ga teng. Bundan quyidagi kvadratur formulaga olamiz

1 N

Jx2 sin(2(x)dx ^ XC[ß][ß]2

0 ß=0 .

Hosil bo'lgan trigonometrik vaznli kvadratur formulaning chap tomonini

1

I = J x2 sin(2rnox)dx

bilan belgilaymiz, uning o'ng qismini

N

Apt = X C [ß][ß]2

ß=0

kabi belgilaymiz. Bunda kvadratur formula

|l — A I

xatoligining absolyut qiymati ' opt\ ga teng bo'ladi.

Jadval 3.2. N =1,10,100,1000 va

( =1.1,10.1,100.1,1000.1 bobanda yuqoridagi trigonometrik vaznli optimal kvadratur formulaning

(0 = 1.1 ( = 10.1 ( = 100.1 ( = 1000.1

I - A t opt I - A t opt I - A t opt I - A t opt

N=1 1.114784(2) 1444594-4) 1.484368-6) 1.488425-8)

N=10 3.025851(-5) 6.946015(-6) 8.425457(-8) 8.578893(-10)

N=100 2.843105-8) 3.005545(-8) 7.045133(-9) 8.440393(-11)

N=1000 2.845974(-11) 2.842208(-11) 3.003591(-11) 7.055061(-12)

Shunday qilib, jadval 3.3 dagi sonli natijalardan ko'rinadiki trigonometrik vaznli optimal kvadratur

formula xatoligining absolyut qiymati N -ю

N <( larda ham yaqinlashadi.

va

Xulosa.

Bulardan quyidagicha xulosaga kelamiz ya'ni. jadval 1 dan ko'rinadiki trigonometrik vaznli integrallarni klassik ma'nodagi kvadratur formulalar bilan taqribiy hisoblash co nig katta qiymatlarida

yetarlicha aniqlikni bermas ekan. Lekin, co G co ^ 0 bo'lganda ham [2,3] qurilgan trigonometrik vaznli optimal kvadratur formula bilan taqribiy hisoblash

xatolikni yetarlicha kamaytirishini jadval 2 dan ko'rinadi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Atkinson K. Spherical harmonics and approximations on the unit sphere: an introduction./ K. Atkinson, W. Han.- Springer - Verlag Berlin Heidelberg 2012, 244 p.

2. Bozarov B.I. Optimal quadrature formulas with the trigonometric weight in the Sobolev space // Bulletin of the Institute of Mathematics, V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics. - Tashkent, 2020. no 4. pp.1-10.

3. Hayotov A.R. An optimal quadrature formulas with the trigonometric weight in the Sobolev space. / A.R. Hayotov, B.I. Bozarov // AIP Conference Proceeding, 2365, 020022 (2021), 16 July.

4. Шадиметов Х.М. Весовые оптимальные кубатурные формулы в периодическом пространстве Соболева // Сиб. журн. вычисл. математики. - Новосибирск, РАН, Сиб. отделение, 1999. - Т. 2, № 2. - С. 185-196.

5. Шадиметов Х.М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. - Ташкент: Фан ва технология, 2019.

6. Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis. / R.L. Burden, J.D. Faires -Nelson Education, Ninth Edition, Canada, 2016.

7. Hayotov A.R. Optimal quadrature formulas for non-periodic functions in Sobolev space and its application to CT image reconstruction. / A.R. Hayotov, S. Jeon, C.-O. Lee, Kh.M. Shadimetov. // Filomat 35:12 (2021), 4177-4195 https://doi.org/10.2298/FIL2112177H.

8. Bozarov B.I. An optimal quadrature formula with sinx weight function in the Sobolev space. Uzbek Mathematical Journal. - Tashkent, 2019, no 4, pp 47-53. (01.00.00; №6).

113

0