CC BY
22Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
Криптография на основе эллиптических кривых (ECC)
I
Введение. Криптография - это искусство тайной передачи информации. Сегодня людям нужна криптография, чтобы побеждать в войнах, строить Интернет и так далее. Криптография является важным инструментом для развития человеческого общества.
В этой статье мы суммировали введение в криптографию, введение в эллиптические кривые, принцип работы ЕСС, сравнение ЕСС с другими кодами, прорыв в ЕСС и применение ЕСС, используя метод обзора литературы [1].
Был представлен обзор развития ЕСС. Сравнение может прояснить преимущества и недостатки ЕСС. Чтобы внести некоторые прямые улучшения, введение в эллиптические кривые и принципы работы ЕСС может рассказать общественности об ЕСС; введение в криптографию может повысить осведомленность общественности о криптографии; а применение ЕСС может помочь людям узнать, как ЕСС действительно помогает им в повседневной жизни. Прежде всего, эта статья помогает большему количеству людей узнать о криптографии, особенно ЕСС, и о том, как вместе внести некоторые улучшения в будущее. Кроме того, в этой статье приводятся некоторые практические пути и направления улучшения ЕСС, давая краткое изложение того, что люди делали для его улучшения раньше.
Обухов Вадим Анатольевич,
ассистент кафедры «Информационные технологии»
Ферганского филиала Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хорезми, e-mail: wendigo_chelsea@mail.ru
Литературный обзор и методология.
Криптография - это искусство сокрытия информации. Люди используют криптографию для передачи информации.
Криптография имеет долгую историю; она была открыта около 400 лет назад. До 1949 года люди использовали классические коды. Классические коды имеют низкую интенсивность, а значит, их легко взломать. Между 1950 и 1975 годами криптография постепенно проникла в сознание людей и стала наукой. С 1976 года по настоящее время ключ в криптографии добился большого прогресса. С этого момента криптография начала делиться на несколько ветвей.
Классификация криптографии.
После того, как криптография начала иметь ответвления, криптография была разделена на симметричную и асимметричную криптографию (криптографию с открытым ключом). Среди них криптография с открытым ключом является основным направлением изучения криптографии, а также самой невзламываемой криптографией.
Криптография с открытым ключом.
Криптография RSA и криптография на основе эллиптических кривых (ECC) являются двумя основными кодами криптографии с открытым ключом.
182
Аннотация. Криптография с эллиптической кривой (ECC), как одна из наиболее важных современных криптографий, более надежна, чем большинство других криптографий, как с точки зрения безопасности, так и с точки зрения надежности, поскольку она использует эллиптическую кривую для построения и в то же время использует математические операции для шифрования и генерации ключей. В то же время криптография на основе эллиптических кривых может продолжать улучшать скорость и интенсивность за счет совершенствования ускорителей, скалярного умножения и скорости обработки ордеров.
Ключевые слова: криптография на основе эллиптических кривых (ECC); криптография; код RSA; алгоритм цифровой подписи на основе эллиптических кривых (ECDSA).
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific Электронный научный журнал "Потомки Аль-
journal of Fergana branch of TATU named after Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени
Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252
Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
Криптография с открытым ключом в основном использует математические вычисления для шифрования и дешифрования. Например, криптография RSA использует огромное число, которое трудно разделить на два больших простых числа, чтобы сделать код более надежным [2].
Криптография с открытым ключом более современна, чем традиционная криптография, и ее безопасность выше, чем у традиционной криптографии, поскольку длина ее ключа больше, а для ее расшифровки требуется больше вычислений. Однако криптография с открытым ключом не заменит полностью традиционную криптографию, поскольку требует большого количества вычислений, поэтому ее можно использовать только для подписей и управления ключами.
Традиционная криптография Криптография с открытым ключом
Базовые требования 1. Отправители и получатели должны использовать общий ключ. 1. Отправитель владеет одним ключом шифрования или дешифрования, а получатель — другим.
2.Отправители и получатели должны использовать один и тот же ключ и один и тот же алгоритм. 2. При шифровании и дешифровании используется один и тот же алгоритм, но разные ключи.
Требования безопасности 1. Не зная ключа, невозможно расшифровать 1. Не зная ключа, невозможно расшифровать
2. Если известен только алгоритм и несколько зашифрованных текстов , подтвердить ключ невозможно. 2. Если известен только один ключ и несколько зашифрованных текстов , невозможно подтвердить другой ключ.
З.Ключ следует хранить в тайне. 3. Закрытый ключ должен храниться в тайне.
Таблица 1 (Table 1). Сравнение
традиционной криптографии и криптографии с открытым ключом.
Эллиптические кривые.
Криптография с эллиптической кривой — важный тип шифрования в криптографии с открытым ключом, который использует эллиптическую кривую для шифрования и дешифрования.
Эллиптическая кривая — это гладкая аффинная кривая с родом 1 в области определения, и ее выражение можно записать как у2 = х(х -1)(х -Л), Л Ф 0,1, или у2 + ау = х3 + Ьх2 + сх + ё. Если характеристики области не 2 и 3, то ее также можно записать как у2 = х3 + ах + Ь.
Графики эллиптических кривых
изменяются в зависимости от их коэффициентов, как показано на графиках ниже [3].
Рисунок 1 (Picture 1). Четыре разные эллиптические кривые.
Эллиптические кривые имеют несколько приложений, таких как криптография эллиптических кривых (ECC), алгоритм цифровой подписи эллиптических кривых (ECDSA) и т. д.
Чтобы понять криптографию эллиптических кривых, нам также необходимо знать определение группы.
Если непустая группа G определена как имеющая операцию «•», и эта операция выполняется:
1. Vx, y е G , удовлетворяют значение x y е G
2. ( x • y) • z = x • ( y • z )
3. V x е G, Эр, так, как p • x = x
4. Vx gG, 3y, так, как x • y = y • x = q
183
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
тогда мы можем сказать, что О — группа относительно операции «•». Если О также удовлетворяет коммутативной аксиоме, то О -Абелева группа.
Аддитивная группа на эллиптических кривых.
На эллиптической кривой нам нужно определить «аддитивную группу» для последующих криптографических вычислений.
(P + хА ) - кхВ
Рисунок 2 (Picture 2). Четыре разные эллиптические кривые.
На эллиптической кривой мы случайным образом выбираем две точки A и В. Затем проводим линию AB и пересекаем эллиптическую кривую в точке C. Затем определяемA+B+C.
Если A и В — одни и те же точки, то C — точка пересечения касательной линии A и эллиптической кривой [4].
Доказано, что аддитивная группа эллиптической кривой соответствует четырем требованиям группы, поэтому она является группой, а также соответствует коммутативной аксиоме, поэтому она является абелевой группой.
Порядок эллиптических кривых.
Порядок эллиптической кривой также является важным базовым знанием эллиптической кривой.
Если эллиптическая кривая существует в конечных полях, порядок существует. Порядок — это количество точек в ограниченной области эллиптической кривой.
Основной принцип криптографии с эллиптическими кривыми (ECC).
Составляющая криптографии с эллиптическими кривыми (ECC).
Кодовая система состоит из открытого текста, ключа и зашифрованного текста, причем ключ может быть открытым, закрытым или частично открытым и частично закрытым.
Формирование ключа криптографии с эллиптическими кривыми (ECC).
Автор случайным образом выбирает две точки А и В на эллиптической кривой, В является кардинальной точкой эллиптической кривой, а А удовлетворяет условию А = кВ. Затем задаётся для закрытого ключа значение к, а для открытого ключа — А. Используя аддитивную группу на эллиптической кривой, если мы знаем только к и В, легко найти А, но если мы знаем только А и В, трудно найти к [5].
Рисунок 3 (Picture 3). Линия, проходящая через эллиптическую кривую.
Шифрование криптографии с
эллиптическими кривыми (ECC).
Во-первых, кодировщик должен
посредством некоторых изменений преобразовать предложения в открытом тексте в несколько чисел.
Затем кодер должен случайным образом найти конкретную эллиптическую кривую.
Установите открытый текст как P, выберите число x (x < n, n — порядок конкретной эллиптической кривой) случайным образом.
Посредством преобразования Q = (xB' P + xA) кодер преобразует открытый текст P в зашифрованный текст Q. Сложение в этом преобразовании является обычным алгебраическим сложением. Затем
184
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
измените зашифрованный текст Q на слова, внося некоторые изменения [6].
Расшифровка криптографии с эллиптическими кривыми.
Декодер получит закрытый ключ к, поэтому декодер может использовать уравнение для поиска открытого текста Р, потому что (Р +хА) -кхВ =Р + кхВ -кхВ =Р.
Причина, по которой ECC использует эллиптические кривые.
1) Линия, проходящая через случайную точку эллиптической кривой, скорее всего, будет иметь три точки пересечения со всей эллиптической кривой. Это удовлетворяет требованиям добавки к эллиптическим кривым, которые требует ЕСС.
2) Существует несколько форм эллиптических кривых. Изменение коэффициента может привести к изменению формы всей эллиптической кривой.
2 1 1 о
eq1
Рисунок 4 (Picture 4).
2 3 y2 = x3 -2x +1
Рисунок 5 (Picture 5). y2 = x3 +x +1
Это удовлетворяет требованию
разнообразия эллиптических кривых в ECC.
Сравнение криптографии ECC и RSA
Сравнение ключевых моментов криптографии ECC и RSA.
Ключом к криптографии RSA является то, что большое число, умноженное на два больших простых числа, является открытым ключом и его трудно разобрать. Однако эффективность генерации двух огромных простых чисел ниже, чем у криптографии на эллиптических кривых [7].
Криптография с эллиптической кривой (ECC) использует обратную операцию сложения эллиптической кривой в качестве ключа и позволяет добиться высокого уровня шифрования без сложных операций, поэтому ее эффективность относительно выше. Кроме того, до сих пор не было обнаружено каких-либо очевидных уязвимостей ECC, поэтому это относительно надежная современная криптография.
Анализ преимуществ криптографии на основе эллиптических кривых (ECC).
Во-первых, криптография на основе эллиптических кривых имеет более высокий уровень безопасности. Система шифрования с эллиптической кривой обеспечивает более надежную защиту и лучше, чем любой другой алгоритм шифрования, предотвращает атаки, делает веб-сайты и инфраструктуру более безопасными, чем традиционные методы шифрования, что позволяет ECC обеспечить лучшую гарантию безопасности мобильного Интернета [8].
Во-вторых, криптография на основе эллиптических кривых лучше подходит для мобильного Интернета. Криптография с эллиптической кривой имеет относительно короткий ключ длиной 256 бит, поэтому она занимает меньше места для хранения. Поскольку все больше и больше пользователей используют мобильные устройства для выполнения различных действий в Интернете, криптография на основе эллиптических кривых обеспечивает лучшее качество обслуживания клиентов в области безопасности мобильного Интернета.
В-третьих, криптография на основе эллиптических кривых имеет лучшие свойства. Криптография на основе эллиптических кривых
185
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific Электронный научный журнал "Потомки Аль-
journal of Fergana branch of TATU named after Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени
Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252
Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 I Son: 4 I 2023-yil
может обеспечить лучшую безопасность при более коротких длинах ключей. Например, стойкость ключа 256-битной криптографии с эллиптической кривой примерно такая же, как и стойкость 3072-битного ключа RSA (в настоящее время нормальная длина ключа RSA составляет 2048 бит). Согласно тестам соответствующих зарубежных органов, время отклика веб-сервера более чем в десять раз быстрее, чем у RSA при использовании алгоритма ECC на серверах Apache и IIS.
Анализ недостатков криптографии на основе эллиптических кривых (ECC).
Основным недостатком криптографии на основе эллиптических кривых является ее низкая эффективность. Эллиптическая криптография опирается на математические вычисления для шифрования и дешифрования, а ее надежность зависит от сложности вычислений. Поэтому его расчет огромен, что приводит к низкой эффективности передачи, шифрования и дешифрования [9].
Результаты.
Улучшения Ускорителя.
Одним из основных недостатков криптографии с открытым ключом является то, что она требует слишком много вычислений и потребляет слишком много энергии и времени, поэтому улучшение ускорителя крайне необходимо для повышения эффективности шифрования и дешифрования эллиптических кривых, а также генерации ключей. Нынешние отечественные и зарубежные студенты университетов, имеющие большой опыт в криптографии на эллиптических кривых, стремятся исследовать способы повышения эффективности и постепенно находят более подходящий ускоритель для криптографии на эллиптических кривых. Например, метод ASIC можно использовать для проектирования и реализации аппаратных ускорителей.
Ускорение алгоритма скалярного умножения.
Скорость алгоритма скалярного умножения очень важна для шифрования эллиптической криптографии. Есть два фактора, которые ускоряют алгоритм скалярного умножения: координатное представление и представление цепочки экспоненциального сложения. Представление обратных координат позволяет избежать обратной операции в конечной области. Цепочка экспоненциального сложения может обеспечить скалярное умножение с как можно меньшим количеством групп эллиптических кривых.
В настоящее время самым современным стандартом является координатное представление: нечетные объекты используют координаты Якоби, а четные — координаты LD. Повышенная скорость алгоритма скалярного умножения может с замечательным эффектом применяться к популярному оборудованию.
Улучшения порядка расчета.
Используя метод комплексного умножения, можно легко найти эллиптическую кривую, но для дальнейшего усиления безопасности системы паролей в криптографии эллиптическая кривая имеет тенденцию генерироваться случайным образом. Но эллиптические кривые, необходимые для криптографии эллиптических кривых, должны иметь один и тот же порядок, поэтому поляризация порядка становится важным эффектом при создании эллиптических кривых.
В 1984 году Шуф с помощью алгоритма с полиномиальным временем предложил вычислить порядок метода эллиптических кривых, но фактическая производительность алгоритма очень низкая, поэтому автор не может получить практического применения в криптографии на эллиптических кривых. Затем Элки выдвинул простые числа Элки и простые числа Аткинса, которые в конечном поле имеют более широкий контекст, предложен алгоритм и значительно повышает эффективность расчета порядка эллиптических кривых. Точно так же Лесье предложил метод использования формы способа расчета эффекта, который дал аналогичные результаты. Затем Сато и Харли предложили более
186
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
эффективный алгоритм, а также предложили такой же простой и эффективный метод расчета, позволяющий вычислить более выдающийся эффект. На данный момент эта проблема решена почти идеально несколькими криптографами и математиками [10].
Алгоритм цифровой подписи на основе эллиптических кривых (ECDSA).
Цифровая подпись не относится к реальной подписи, но закрытый ключ «подписывает» определенную информацию. Другие люди (включая пользователя Б) могут проверить, что информация действительно подписана
пользователем А с помощью открытого ключа пользователя А, поскольку информация может быть подписана только закрытым ключом пользователя А. Однако цифровые подписи могут использоваться для реальных подписей.
Оператор будет использовать хэш-функцию, которая находится на уровне безопасности, для преобразования открытого текста подписи P в зашифрованный текст Q. Затем оператор случайным образом генерирует другое число k (0 < k < n), n - это порядок циклической подгруппы. A = kB, определение A, B, k такое же, как и приведенное выше. Затем определяетсяXp как
v р r = xp mod ^ = (z + rdA ) / k координата X точки P, p , v A '
mod n
. (r, s) — это информация о подписи. 3.
Алгоритм SM2.
SM2 имеет преимущества перед RSA с точки зрения безопасности и свойств. Таким образом, SM2 может заменить RSA. Алгоритм SM2 имеет множество применений, например, усилений . информационной безопасности.
Существует связь между алгоритмом SM2 и криптографией эллиптических кривых (ECC)5. Алгоритм SM2 определяет свою кривую путем определения in. Кроме того, чтобы сопоставить кривые с алгоритмами шифрования, в стандарте SM2 идентифицируются другие параметры для6 . использования алгоритмическими программами [11].
7.
Заключение. Прежде всего, криптография быстро развивалась с древних времен. Переход от классической криптографии к современной криптографии произошел благодаря
эллиптической кривой. Во-вторых, она более надёжна, чем большинство других криптографий, как с точки зрения безопасности, так и с точки зрения надежности, поскольку для построения она использует эллиптические кривые и в то же время использует математические операции для шифрования и генерации ключей.
Во-вторых, криптография на основе эллиптических кривых может продолжать улучшать скорость и интенсивность за счет улучшения ускорителей, скалярного умножения и скорости обработки ордеров.
Наконец, применение эллиптической кривой в цифровой подписи в Интернете и SM2 очень эффективно, что еще раз иллюстрирует важность криптографии с эллиптической кривой.
Список литературы (References): Бессалов, А. В. (2017). Эллиптические кривые в форме Эдвардса и криптография. Болотов, А. А., Гашков, С. Б., Фролов, А. Б., & Часовских, А. А. (2006). Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Протоколы криптографии на эллиптических кривых. Изд, 2. Бессалов, А. В., Дихтенко, А. А., & Третьяков, Д. Б. (2011). Сравнительная оценка быстродействия канонических эллиптических кривых и кривых в форме Эдвардса над конечным полем. Сучасний захист шформацп, (4), 33-36. Долгов, В. И. (2008). Эллиптические кривые в криптографии. Системи обробки шформацп, (6), 210.
Жданов, О. Н., & Чалкин, В. А. (2013). Эллиптические кривые: Основы теории и криптографические приложения. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. 200 с.
Левин, В. Ю. (2007). Кодирование алфавитов точками эллиптических кривых.
Интеллектуальные системы, 11(1-4), 171-184. Марчук, К. С., & Асмыкович, И. (2019). Алгоритм создания электронной подписи на основе групп точек на эллиптической кривой. In МОЛОДЕЖЬ И
187
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU Farg'ona filiali "Al-Farg'oniy avlodlari" elektron ilmiy jurnali ISSN 2181-4252 Tom: 1 | Son: 4 | 2023-yil
"Descendants of Al-Farghani" electronic scientific journal of Fergana branch of TATU named after Muhammad al-Khorazmi. ISSN 2181-4252 Vol: 1 | Iss: 4 | 2023 year
Электронный научный журнал "Потомки Аль-Фаргани" Ферганского филиала ТАТУ имени Мухаммада аль-Хоразми ISSN 2181-4252 Том: 1 | Выпуск: 4 | 2023 год
НАУКА: АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ. (pp. 370-373).
8. Обухов, В., Эльнур, Х., & Набижонов, Р. (2023). ПОЭТАПНОЕ ВНЕДРЕНИЕ БЛОКЧЕЙН ТЕХНОЛОГИЙ В РЕСПУБЛИКЕ УЗБЕКИСТАН. Research and implementation.
9. Обухов, В., Ходжиматов, Ж., & Набижонов, Р. (2023). РАЗВИТИЕ БЛОКЧЕЙН ТЕХНОЛОГИЙ В УЗБЕКИСТАНЕ: СОВРЕМЕННЫЕ ВЫЗОВЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ. Research and implementation.
10. Обухов, В. А. (2023). Цифровая безопасность данных в блокчейн-сетях. PEDAGOG, 6(10), 304308.
11. Обухов, В. А., & Хакимов, А. А. (2022). ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕКУРСИВНЫХ ФУНКЦИЙ В СТРУКТУРАХ ДАННЫХ. Journal of new century innovations, 11(1), 92-99.
188
